Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n圖象過點(diǎn)（1，3），且f（-1+x）=f（-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)F（x）=tx²+8x-f（x）．
①若關(guān)于x的方程F（x）=0的兩根分別在區(qū)間（0，1）（2，3）內(nèi)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
②設(shè)t≥1，求函數(shù)F（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值函數(shù)G（t）的表達(dá)式及其值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，從而求出m的值，將（1，3）代入解析式求出n的值即可；
（2）①根據(jù)根的存在性定理得到f（0）f（1）＜0且f（2）f（3）＜0，解不等式組即可；
（3）通過討論t的范圍，得到F（x）的單調(diào)性，從而求出F（x）的最小值即G（t）即可，進(jìn)而求出G（t）的值域．

解答 解：（1）f（-1+x）=f（-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立
∴對(duì)稱軸x=-$\frac{m}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得：m=1，
∵函數(shù)f（x）=x²+mx+n圖象過點(diǎn)（1，3），
∴3=1+1+n，解得：n=1，
∴f（x）=x²+x+1，
（2）①F（x）=tx²+8x-f（x）=tx²+8x-x²-x-1=（t-1）x²+7x-1，
若關(guān)于x的方程F（x）=0的兩根分別在區(qū)間（0，1）（2，3）內(nèi)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）f（1）＜0}\\{f（2）f（3）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t+5＞0}\\{（4t+23）（9t+11）＜0}\end{array}\right.$，解得：-5＜t＜-$\frac{11}{9}$，
②t=1時(shí)：F（x）=7x-1，F(xiàn)（x）在[-1，1]遞增，G（t）=F（x）_min=F（-1）=-8，
t＞1時(shí)：F（x）是開口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸x=-$\frac{7}{2（t-1）}$＜0，
當(dāng)-$\frac{7}{2（t-1）}$≤-1即1＜t≤$\frac{9}{2}$時(shí)：F（x）在[-1，1]遞增，
∴G（t）=F（x）_min=F（-1）=t-9，
當(dāng)-1＜-$\frac{7}{2（t-1）}$＜0即t＞$\frac{9}{2}$時(shí)：
G（t）=F（x）_min=F（-$\frac{7}{2（t-1）}$）=-$\frac{49}{4（t-1）}$-1，
∴G（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t-9，1≤t≤\frac{9}{2}}\\{-\frac{49}{4（t-1）}-1，t＞\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)1≤t≤$\frac{9}{2}$時(shí)：G（t）∈[-8，-$\frac{9}{2}$]，
當(dāng)t＞$\frac{9}{2}$時(shí)：G（t）∈（-$\frac{9}{2}$，-1），
故G（t）的值域是[-8，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，求出F（x）的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．