Question

公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₄是a₃與a₇的等比中項(xiàng)，S₈=32，則S₁₀=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出等差數(shù)列的等差d，且d不為0，根據(jù)a₄是a₃與a₇的等比中項(xiàng)，S₈=32，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于等差數(shù)列首項(xiàng)和公差方程組，求出方程組的解集即可得到首項(xiàng)和公差，然后再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出S₁₀即可．

解答：解：設(shè)公差為d（d≠0），則有

(a1+2d)(a1+6d)=(a1+3d)2 8a1+ 8•7 2 d=32

，化簡(jiǎn)得：

d(3 d+2a1)=0① 2a1+7d=8②

，
因?yàn)閐≠0，由①得到2a₁+3d=0③，②-③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a₁=-3，
所以方程組的解集為

a1=-3 d=2

，
則S₁₀=10×（-3）+

10×9

2

×2=60．
故答案為：60

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．本題解法屬基本量法．在解由等差（比）數(shù)列中的部分項(xiàng)生成等比（差）數(shù)列中部分項(xiàng)問題時(shí)，要特別注意新數(shù)列中項(xiàng)在新、老數(shù)列中的各自屬性及其表示．