Question

若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,則　　　　(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)). 
①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直;
②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等;
③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°;
④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分;
⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

Answer 1

②④⑤

把四面體補(bǔ)形為平行六面體,由三組對(duì)棱分別相等可知此平行六面體為長(zhǎng)方體,如圖所示,只有長(zhǎng)方體為正方體時(shí)①才正確,故①不正確.

在長(zhǎng)方體中,有△BAC≌△DCA.
△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB.
∴四面體ABCD每個(gè)面的面積都相等,故②正確.
對(duì)于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD為例說明.
∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB.
又∵△DAB≌△CBA,
∴∠BAD=∠ABC.
∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,故③不正確.
對(duì)于④,連接四面體ABCD對(duì)棱中點(diǎn)的線段即是連接長(zhǎng)方體對(duì)面中心的線段,顯然相互垂直平分,故④正確.
對(duì)于⑤,以AB、AC、AD為例進(jìn)行說明.
∵AD=BC,AB、AC、BC三邊長(zhǎng)可構(gòu)成△ABC,
∴AB、AC、AD可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).同理可得從其他頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)也可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故⑤正確.