Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－3ax²－9a²x＋a³.

(1)設(shè)a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若a>，且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，|f′(x)|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)的極大值是f(－1)＝6，極小值是f(3)＝－26.；（2）(，]．

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)利用確定極值即可。

(2)解本題的關(guān)鍵是|f′(x)|≤12a轉(zhuǎn)化為恒成立，.然后解不等式組求解即可。

解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)＝3x²－6x－9.令f′(x)＝0，解得

x₁＝－1，x₂＝3.

列表討論f(x)，f′(x)的變化情況：

x	(－∞，－1)	－1	(－1,3)	3	(3，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大 值6	?	極小 值－26	?

所以，f(x)的極大值是f(－1)＝6，極小值是f(3)＝－26.                  5分

(2)f′(x)＝3x²－6ax－9a²的圖象是一條開(kāi)口向上的拋物線，

關(guān)于x＝a對(duì)稱．   若<a≤1，則f′(x)在[1,4a]上是增函數(shù)，從而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a²，            最大值是f′(4a)＝15a².

          ∴必有f′(1)＝3－6a－9a²≥－12a，∴只要有f′(4a)＝15a²≤12a.    得0≤a≤.

所以a∈(，1]∩[0，]，    即a∈(，]．                           11分

 若a>1，則 ∵|f′(a)|＝12a²>12a.

故當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)|f′(x)|≤12a不恒成立．

所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范圍是(，]．         14分