Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2（a-a²）x+4a-1，若存在x₁∈[a-2，a-1]，存在x₂∈[a+3，a+6]，滿足f（x₁+1）=f（x₂），則實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$）．

Answer 1

分析 由f（x₁+1）=f（x₂），推導(dǎo)出[（x₁+1）-（a²-a）]²=[x₂-（a²-a）]²，從而x₁+x₂=2（a²-a）-1，進(jìn)而2a+2≤2（a²-a）-1≤2a+4，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x²+2（a-a²）x+4a-1=[x-（a²-a）]²-（a-a²）²+4a-1，
∴f（x₁+1）=[（x₁+1）-（a²-a）]²-（a-a²）²+4a-1，
f（x₂）=[x₂-（a²-a）]²-（a-a²）²+4a-1，
∵f（x₁+1）=f（x₂），
∴[（x₁+1）-（a²-a）]²=[x₂-（a²-a）]²，
（x₁+1）²-2（a²-a）（x₁+1）=x₂²-2（a²-a）x₂，
（x₁+1-x₂）（x₁+x₂+1）=2（a²-a）（x₁+1-x₂），
∴x₁+x₂=2（a²-a）-1，
∵x₁+x₂≤a+6+（a-2）=2a+4，
∴x₁+x₂≥a+3+（a-1）=2a+2，
∴2a+2≤2（a²-a）-1≤2a+4，
整理，得：2a²-4a-3≥0或2a²-4a-5≤0，
解得實數(shù)a的取值范圍為（$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$，$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$）∪（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查二次函數(shù)、一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．