Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，如果

Sn

S2n

為常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為“科比數(shù)列”．
（Ⅰ）已知等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差不為零，若{b_n}為“科比數(shù)列”，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²對(duì)任意n∈N^*都成立，試推斷數(shù)列{c_n}是否為“科比數(shù)列”？并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），

Sn

S2n

=k，因?yàn)閎₁=1，則n+

1

2

n(n-1)d=k[2n+

1

2

•2n(2n-1)d]，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，解得

d=2 k= 1 4

．
故數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知，當(dāng)n=1時(shí)，c₁³=S₁²=c₁²．因?yàn)閏₁＞0，所以c₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，c₁³+c₂³+c₃³++c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³++c_n-1³=S_n-1²．
兩式相減，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因?yàn)閏_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．
顯然c₁=1適合上式，所以當(dāng)n≥2時(shí)，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因?yàn)閏_n+c_n-1＞0，則c_n-c_n-1=1，所以數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以

Sn

S2n

=

n(n+1)

2n(2n+1)

=

n+1

4n+2

不為常數(shù)，故數(shù)列{c_n}不是“科比數(shù)列”．