Question

用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f(x)=

1

(x-1)2

在（-∞，1）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：利用單調(diào)性的定義進行證明，設x₁＜x₂＜1，再作差、變形、判斷符號，證f（x₂）＞f（x₁），把x₁和x₂分別代入函數(shù)f （x）=

1

(x-1)2

進行證明．

解答：解：設x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

(x1-1)2

-

1

(x2-1)2

=

(x1+x2-2)(x2-x1)

(x1-1)2(x2-1)2

∵x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，x₁+x₂-2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

1

(x-1)2

在（-∞，1）上是增函數(shù)．

點評：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義，解題的關(guān)鍵是利用單調(diào)性定義：取值、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論五個步驟進行證明，