Question

已知正方體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E恰為棱CC₁的中點(diǎn)時(shí)，試證明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，可以使二面角A₁﹣BD﹣E的大小為45°？如果存在，試確定點(diǎn)E在棱CC₁上的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接A₁O，OE，
在等邊△A₁BD中，BD⊥A₁O，
∵BD⊥A₁E，A₁O平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE，于是BD⊥OE，
∴∠A₁OE是二面角A₁﹣BD﹣E的平面角，
在正方體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，設(shè)棱長(zhǎng)為2a，
∵E是棱CC₁的中點(diǎn)，
∴由平面幾何知識(shí)，得 ， ，A₁E=3a，滿足 ，
∴∠A₁OE=90°，即平面A₁BD⊥平面EBD．
（2）解：在正方體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
假設(shè)棱CC₁上存在點(diǎn)E，可以使二面角A₁﹣BD﹣E的大小為45°，
由（1）知，∠A₁OE=45°，
設(shè)正方體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2a，EC=x，
由平面幾何知識(shí)，得EO= ， ， ，
∴在△A₁OE中，由 ，
得x²﹣8ax﹣2a²=0，解得 ，
∵ ，
∴棱OC₁上不存在滿足條件的點(diǎn)．