已知橢圓
x2
2
+
y2
1
=1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的周長為
4
2
4
2
，△ABF2的面積為
4
10
9
4
10
9
．
分析：利用橢圓的定義即可得到△ABF2的周長；把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式即可得出．
解答：解：如圖所示，
①由橢圓
x2
2
+
y2
1
=1得a2=2，b=1，c=
a2-b2
=1．得F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．
∴|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=2
2
．
∴△ABF2的周長=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4
2
．
②直線PF1的方程為y=
0-(-2)
-1-0
x-2，即y=-2x-2．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立
y=-2x-2
x2+2y2=2
，化為9x2+16x+6=0，
∴x1+x2=-
16
9
，x1x2=
2
3
．
∴|AB|=
(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5×[(
16
9
)2-4×
2
3
]
=
10
2
9
．
點F2到直線AB的距離d=
4
5
．
∴S△ABF2=
1
2
|AB|•d=
1
2
×
10
2
3
×
4
5
=
4
10
9
．
故答案分別為4
2
；  
4
10
9
．
點評：熟練掌握橢圓的定義、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積公式等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸?求證直線AC經(jīng)過線段EF的中點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x22
+y2=1的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點．
（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；
（II）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
2
+y2=1的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點．過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l的傾斜角α=
π
4
，求|AB|；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x22
+y2=1的左、右焦點為F1、F2，上頂點為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF1F2⊥平面BF1F2．點O為坐標(biāo)原點．
（ I ） 求三棱錐A-F1F2B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF2上是否存在點M，使得AM⊥OB，若存在，請在圖1中指出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓
x2
2
+y2=1內(nèi)有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓？若存在，求其內(nèi)切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．

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