Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}，試用a表示不等式f（x）+2＞0的解集．

Answer 1

分析：利用不等式f（x）＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}，確定1，3是對應(yīng)方程f（x）=-2x的根，然后確定a，b，c的值，最后求解不等式f（x）+2＞0的解集．

解答：解：不等式f（x）＞-2x的解集為{x|1＜x＜3}
即ax²+（b+2）x+c＞0解集為（1，3），即1，3是對應(yīng)方程ax²+（b+2）x+c=0的兩個根，
⇒

a＜0 - b+2 a =4 c a =3

⇒

b=-4a-2 c=3a a＜0

，
所以f（x）=ax²+（4a+2）x+3a，（a＜0）．
所以f（x）+2＞0等價為f（x）=ax²+（4a+2）x+3a+2＞0，
即（x-1）[ax-（3a+2）]＞0．
因為a＜0，所以原不等式等價為(x-1)[x-(3+

2

a

)]＜0．
①若3+

2

a

＜1，即-1＜a＜0時，解得3+

2

a

＜x＜1．
②若3+

2

a

=1，即a=-1，此時（x-1）²＜0，此時不等式無解．
③若3+

2

a

＞1，即a＜-1，得1＜x＜3+

2

a

．
綜上：當(dāng)-1＜a＜0時，不等式的解集為(3+

2

a

，1)．
當(dāng)a=-1時，不等式的解集為空集．
當(dāng)a＜-1時，不等式的解集為(1，3+

2

a

)．

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，含有參數(shù)的不等式必須要對參數(shù)進行討論．