Question

已知函數(shù)．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時，求出f（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）對任意的a∈（1，2），當x∈[1，2]時，都有f（x）＞m（1-a²），等價于f（x）_min＞m（1-a²），用導數(shù)可求f（x）_min，構造函數(shù)g（a）=f（x）_min-m（1-a²）（1＜a＜2），問題轉化為g（a）_min＞0（1＜a＜2），分類討論可求出m的取值范圍．
解答：解：（1）當a=2時，f（x）=，定義域為（-，+∞）．
f′（x）=2x-2+=2x-2+=．
由f′（x）＞0，得，或x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜．
所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（，0），（，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，）．
（2）y=f（x）的定義域為（-，+∞）．
f′（x）=2x-a+=2x-a+==．
當1＜a＜2時，-1==＜0，即，
所以當1＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上單調遞增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=1-a+ln（）．
依題意，對任意的a∈（1，2），當x∈[1，2]時，都有f（x）＞m（1-a²），
即可轉化為對任意的a∈（1，2），1-a+ln（）-m（1-a²）＞0恒成立．
設g（a）=1-a+ln（）-m（1-a²）（1＜a＜2）．
則g′（a）=-1++2ma==，
①當m≤0時，2ma-（1-2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，2）上單調遞減，且g（1）=0，則g（a）＜0，與g（a）＞0矛盾．
②當m＞0時，g′（a）=，
若，則g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上單調遞減，且g（1）=0，g（a）＜0，與g（a）＞0矛盾；
若1＜＜2，則g（a）在（1，）上單調遞減，在（，2）上單調遞增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0矛盾；
若，則g（a）在（1，2）上單調遞增，且g（1）=0，
則恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范圍為[，+∞）．
點評：本題考查綜合運用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、最值及函數(shù)恒成立問題，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，考查分類討論思想的運用．