設(shè)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的函數(shù)，當(dāng)m，n∈[-1，0）∪（0，1]，且m+n=0時，有f（m）+f（n）=0．
（1）證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[-1，0）時，f（x）=2ax+
1x2
（a為實數(shù)）．則當(dāng)x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)a＞-1時，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷．（2）利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．（3）利用單調(diào)性的定義或?qū)?shù)判斷單調(diào)性．
解答：解：（1）因為函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以由m+n=0得m=-n，
所以由f（m）+f（n）=0．得f（-n）+f（n）=0，
即f（-n）=-f（n），所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），則f(-x)=-2ax+
1
x2
，
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f(-x)=-2ax+
1
x2
=-f(x)，
即f(x)=2ax-
1
x2
，x∈（0，1]．
（3）當(dāng)a＞-1時，即f(x)=2ax-
1
x2
，x∈（0，1]．
函數(shù)導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2a+
2
x3
，
因為a＞-1，x∈（0，1]．
所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，1]上的單調(diào)遞增．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性以及奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的綜合性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
12
對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

例2．設(shè)f（x）是定義在[-3，
2
]上的函數(shù)，求下列函數(shù)的定義域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，而當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
（Ⅲ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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