已知函數(shù)f（x）=
3
sin2x+2cos2x
（1）求f（
4π
3
）的值；
（2）已知x∈[0，
π
2
]，求函數(shù)f（x）的值域．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=2sin（2x+
π
6
）+1，從而求得f（x）的解析式，進而求得f（
4π
3
）的值．
（2）根據(jù)已知x∈[0，
π
2
]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=
3
sin2x+2cos2x=
3
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
π
6
）+1．
∴f（
4π
3
）=2sin
17π
6
+1=2sin
5π
6
+1=1+1=2．     
（2）已知x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]．
∴sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]，∴f（x）∈[0，3]．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，A={x|x2-x-2＜0}，B={x|x≥0}，則A∪B=（　�。�
A、{x|0≤x＜2}
B、{x|x≥0}
C、{x|x≤-1}
D、{x|x＞-1}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2x+3，則f（0）=（　�。�
A、3
B、1
C、5
D、-
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義由如圖框圖表示的運算，若f（x）=|x+1|+|x-1|，則輸出y=（　　）
A、0B、1C、2D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax-2lnx，常數(shù)a∈R
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)-3＜a＜3，記f（x）的極小值為fmin（x），若不等式b-2ln2＜f（x）min＜b+4-2ln2恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-3，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-4，-1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某商場分別投入x萬元，經(jīng)銷甲、乙兩種商品，可分別獲得利潤y1、y2萬元，利潤曲線分別為C1：y1=m•ax+b，C2：y2=cx，其中m，a，b，c都為常數(shù)．如圖所示：
（1）分別求函數(shù)y1、y2的解析式；
（2）若該商場一共投資12萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最小值．（可能要用的數(shù)ln2≈0.7）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3+…+an=0且|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1（n≥3，n∈N*），則稱數(shù)列{an}為n階“歸化數(shù)列”．
（1）若某4階“歸化數(shù)列”{an}是等比數(shù)列，寫出該數(shù)列的各項；
（2）若某11階“歸化數(shù)列”{an}是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；
（3）若{an}為n階“歸化數(shù)列”，求證：a1+
1
2
a2+
1
3
a3+…+
1
n
an≤
1
2
-
1
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在[-1，1]上的最小值記為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈[-1，1]時，恒有f（x）≤g（a）+4．

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同步練習(xí)冊答案