Question

對(duì)于△ABC，有如下四個(gè)命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是鈍角三角形
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則△ABC是等邊三角形
其中正確的命題個(gè)數(shù)是

1

．

Answer 1

分析：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，可知①不正確．
②若sinB=cosA，找出∠A和∠B的反例，即可判斷△ABC是直角三角形錯(cuò)誤，故②不正確．
③由sin²A+sin²B＞sin²C，結(jié)合正弦定理可得a²+b²＞c²，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C為銳角．
④利用正弦定理，化簡

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，從而可得

A

2

=

B

2

=

C

2

．

解答：解：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，故△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①不正確．
②若sinB=cosA，例如∠B=100°和∠A=10°，滿足sinB=cosA，則△ABC不是直角三角形，故②不正確．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則a²+b²＞c²，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C為銳角，故③不正確．
④利用正弦定理邊角互化，由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，從而可得

A

2

=

B

2

=

C

2

，即A=B=C，故④正確
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角形的判斷，三角方程的求法，反例法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．