Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面積是菱形，AC交BD于O，PO⊥平面ABC，E為AD中點，F(xiàn)在PA上，
AP=λAF，PC∥平面BEF．
（1）求λ的值；
（2）若2，∠ADB=∠BPC=60°，求二面角B-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AO交BE于G，連接FG，由O、E分別是BD、AD的中點，知

AG

AO

=

2

3

，

AG

AC

=

1

3

，由此能求出λ的值．
（2）以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出二面角B-AF-E的余弦值．

解答：解：（1）設(shè)AO交BE于G，連接FG，
∵O、E分別是BD、AD的中點，
∴

AG

AO

=

2

3

，

AG

AC

=

1

3

，
∵PC∥平面BEF，∴GF∥PC，
∴

AE

AP

=

AG

AC

=

1

3

，∴λ=

1

3

．
（2）以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)P為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)OB=1，在菱形ABCD中，∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，故OA=

3

，
∵∠BPD=60°，PO⊥平面ABC，
∴PO=

3

，
∴A（

3

，0，0），B（0，1，0），P（0，0，

3

），D（0，-1，0），
∴

AD

=（-

3

，-1，0），

AP

=（-

3

，0，

3

），

AB

=（-

3

，1，0），
設(shè)平面PAD的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則

m

•

AD

=0，

m

•

AP

=0，
∴

- 3 x1-y1=0 - 3 x1+ 3 z1=0

，∴

m

=(-

3

，3，-

3

)，
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=(x2，y2，z2)，則

n

•

AP

=0，

n

•

AB

=0，
∴

- 3 x2+ 3 z2=0 - 3 x2+y2=0

，∴

n

=(

3

，3，

3

)，
設(shè)二面角B-AF-E的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-3+9-3

15 × 15

|=

1

5

．
∴二面角B-AF-E的余弦值是

1

5

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．