Question

（12分）四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求證：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱錐P—ABCD的體積；

（3）對于向量={x₁，y₁，z₁}，={x₂，y₂，z₂}，={x₃，y₃，z₃}，定義一種運算：

（×）·=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，試計算（×）·的絕對值的值；說明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算（×）·的絕對值的幾何意義.．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）16；（3）|（×）·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.

【解析】

試題分析：（1）證明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD.

（2）解：設(shè)與的夾角為θ，則

cosθ=

V=||·||·sinθ·||=

（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱錐P—ABCD體積的3倍.

猜測：|（×）·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.

考點：本題主要考查向量的坐標運算、數(shù)量積、模的概念及其計算，考查了考生的空間想象能力、邏輯推理能力。

點評：這是一道利用向量知識證明幾何問題的典例，本題考查了空間向量的坐標表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運算能力，綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力及空間想象能力.其中（3）的新定義問題，能較好的考查學(xué)生的學(xué)習能力以及分析問題解決問題的能力。