證明：函數(shù)f（x）=x+
4x
（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
分析：設(shè)兩個數(shù)x1、x2∈（0，2），且x1＜x2，將f（x1）與f（x2）作差變形整理，再討論得f（x1）＞f（x2），由此即可得到f（x）=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)．
解答：證明：設(shè)x1、x2是區(qū)間，（0，2）上的任意兩個數(shù)，且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=（x1+
1
x1
）-（x2+
1
x2
）=（x1-x2）（1-
1
x1x2
）=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1＜x2，x1、x2∈（0，2）
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，可得
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
＞0
由此可得f（x1）＞f（x2）
∴函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)．
點評：本題通過證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù)，考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性的知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2，g（x）=x，x∈R，a為實常數(shù)．
（1）若a＞0，設(shè)F(x)=
f(x)g(x)
，x≠0，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三個不相等的實數(shù)解，求a的值所組成的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探究函數(shù)f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（0，2）
（0，2）
上遞減；并利用單調(diào)性定義證明．函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＜0）時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）定義：對于函數(shù)f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）對定義域內(nèi)的x恒成立，則稱函數(shù)f（x）為?函數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=ex1nx為?函數(shù)．
（Ⅱ）對于定義域為（0，+∞）的?函數(shù)f（x），求證：對于定義域內(nèi)的任意正數(shù)x1，x2，…，xn，均在f（1n（x1+x2+…+xn））＞f（1nx1）+f（1nx2）．+…+f（1nxn）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有唯一的零點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
1-
1
x
，x＞0
(a-1)x+1，x≤0

（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)f（x）的零點．

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