Question

已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C₂：的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x²+y²=1上，
(Ⅰ)求拋物線C₁和橢圓C₂的標準方程；
(Ⅱ)過點F的直線交拋物線C₁于A、B兩不同點，交y軸于點N，已知，求證：λ₁+λ₂為定值；
(Ⅲ)直線l交橢圓C₂于P、Q兩不同點，P、Q在x軸的射影分別為P′、Q′，，若點S滿足：，證明：點S在橢圓C₂上。

Answer 1

解：（Ⅰ）由C₁：y²=2px（p＞0）的焦點在圓O：x²+y²=1上得：，∴p=2，
所以拋物線C₁：，
同理由橢圓C₂：的上、下焦點（0，c），（0，-c）及左、右頂點（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，∴，
得橢圓C₂：；
總之，拋物線C₁：、橢圓C₂：。
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k（x-1），，則N（0，-k），
聯(lián)立方程組消去y得：，，
故，
由得，，
整理得，，
∴。
（Ⅲ）設，∴，則，
由得：，（1）
，（2）
，（3）
由（1）+（2）+（3）得：，
所以滿足橢圓C₂的方程，命題得證。