定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）證明f（0）=1；

（2）證明對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）證明函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù).

思路解析：本題抽象函數(shù)的原型函數(shù)即為指數(shù)函數(shù)，可借助y=2x理清解答的思路和方法.

證明：（1）取a=b=0，則f（0）=f2（0）.

∵f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）當x≥0時，f（x）≥1＞0成立，當x＜0時，-x＞0，f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（x）=＞0.

∴x∈R時，恒有f（x）＞0.

（3）法一：設x1＜x2，則x2-x1＞0.

∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）·f（x1）.

∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞1.

又f（x1）＞0，∴f（x2-x1）·f（x1）＞f（x1）.

∴f（x）是R上的增函數(shù).

法二：設x2=x1+t（t＞0），f（x2）=f（x1+t）=f（x1）·f（t）＞f（x1）.或者設x1＜x2，則＞1.

又f（x1）＞0，f（x2）＞0，

∴f（x2）＞f（x1）.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

11、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2009）的值是（　　）

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13、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，則f（508）=
0
．

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定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(3-x)=f(x)，(x-
3
2
)f′(x)＞0(x≠
3
2
)，若x1＜x2，且x1+x2＞3，則有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個命題：
①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要條件；
②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”成立的充分不必要條件；
③函數(shù)f（x）=ax2+bx（x∈R）為奇函數(shù)的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)的必要條件是“
f(-x)f(x)
=1”．
其中真命題的序號是
①③
①③
．（把真命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則f（2011）=
-1
-1
．

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