Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a1=1， an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)，若a_n=2011，則n=

2011

．

Answer 1

分析：由于數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a1=1， an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)，故再寫(xiě)一式，可得an+1=an+

1

n

an，從而利用疊乘法可求數(shù)列通項(xiàng)，進(jìn)而可解決問(wèn)題．

解答：解：由題意得，∵an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)
∴an+1=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1+

1

n

an(n≥2，n∈ N*)
∴an+1=an+

1

n

an
∴

an+1

an

=

n+1

n

∴an=2×

3

2

…×

n

n-1

=n   (n≥2)
∵a_n=2011，∴n=2011
故答案為2011．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列遞推式，主要考查利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，關(guān)鍵是再寫(xiě)一式，再進(jìn)行迭代．