Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-φ）+2cosωxsinφ（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M(

3π

4

，0)對稱，且在區(qū)間  [0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．

Answer 1

分析：利用兩角和與差公式得出f（x）=sin（ωx+φ）．再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，先求出φ，得出f（x）=cos（ωx ）．再求?．

解答：解：f（x）=sin（ωx-φ）+2cosωxsinφ
=sinωxcosφ-cosωxsinφ+2cosωxsinφ
=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ）．
∵函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)∴圖象關于y軸對稱，f（0）=±1，sinφ=±1．φ=kπ±

π

2

，k∈Z．又0≤φ≤π，∴φ=

π

2

．
從而f（x）=cos（ωx ）．其圖象關于點M(

3π

4

，0)對稱，且在區(qū)間  [0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，∴cos（

3π

4

ω ）=0.

3π

4

ω=kπ±

π

2

．ω=

4k+2

3

，k∈Z．
[0，

ωπ

2

]⊆[0，π]，

ωπ

2

≤π，ω≤2．∴ω=

2

3

或2．

點評：本題考查兩角和與差公式的正用、逆用，誘導公式，三角函數(shù)的性質(zhì)．考查轉(zhuǎn)化計算能力．