Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直線(xiàn)y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（　　）

• A．（0，1）
• B．(1-

  2

  2

  ，

  1

  2

  )
• C．(1-

  2

  2

  ，

  1

  3

  ]
• D．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先求得直線(xiàn)y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得點(diǎn)M在射線(xiàn)OA上．求出直線(xiàn)和BC的
交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=

1

3

；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得 b＜

1

2

； ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1-

2

2

．結(jié)合所給的選項(xiàng)，綜合可得結(jié)論．

解答：解：由題意可得，三角形ABC的面積為

1

2

•AB•OC=1，
由于直線(xiàn)y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0，可得點(diǎn)M在射線(xiàn)OA上．
設(shè)直線(xiàn)和BC的交點(diǎn)為 N，則由

y=ax+b x+y=1

可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

1-b

a+1

，

a+b

a+1

）．
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，則-

b

a

=-1，且

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=b=

1

3

．
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，則點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于

1

2

，即

1

2

•MB•yN=

1

2

，
即 

1

2

×(1+

b

a

)•

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=

b2

1-2b

＞0，故有 b＜

1

2

．
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則-

b

a

＜-1，故b＞a．設(shè)直線(xiàn)y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，
則由

y=ax+b y=x+1

求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1-b

a-1

，

a-b

a-1

），
此時(shí)，NP=

( 1-b a+1 - 1-b a-1 )2+( a+b a+1 - a-b a-1 )2

=

[ -2(1-b) (a+1)(a-1) ]2+[ 2ab-2a (a+1)(a-1) ]2

=

(4+4a2)(1-b)2 (a+1)2(a-1)2

=

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

•

1+a2

．
此時(shí)，點(diǎn)C（0，1）到直線(xiàn)y=ax+b的距離等于

|0-1+b|

1+a2

．
由題意可得，三角形CPN的面積等于

1

2

，即

1

2

•

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

•

1+a2

•

|0-1+b|

1+a2

=

1

2

．
化簡(jiǎn)可得2（1-b）²=|a²-1|．
由于此時(shí) b＞a＞0，∴2（1-b）²=|a²-1|=1-a² ．
兩邊開(kāi)方可得

2

（1-b）=

1-a2

＜1，∴1-b＜

1

2

，化簡(jiǎn)可得 b＞1-

2

2

．
綜合以上可得，b=

1

3

可以，且b＜

1

2

，且b＞1-

2

2

，即b的取值范圍是 (1-

2

2

，

1

2

)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查確定直線(xiàn)的要素，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考察運(yùn)算能力以及
綜合分析能力，屬于中檔題．