精英家教網(wǎng)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點M,N分別為A1A和B1B的中點.
(Ⅰ)求異面直線CM與D1N所成角的余弦值;
(Ⅱ)求點D1到平面MDC的距離.
分析:(Ⅰ)分別是以DA1、DC1、DD1所成在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,可得
MC
D1N
的坐標,可得cos<
MC
,
D1N
,取其絕對值即可;
(Ⅱ)設(shè)面DMC的法向量為
n
=(x,y,z)
,由垂直關(guān)系可得xyz的關(guān)系,而點D1到平面MDC的距離h=
|
DD1
n
|
|
n
|
,計算可得.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)分別是以DA1、DC1、DD1所成在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系. 
則M(2,0,1)C(0,2,0)N(2,2,1)D1(0,0,2)
MC
=(-2,2,-1)
D1N
=(-2,-2,1)

cos<
MC
,
D1N
>=
4-4-1
3×3
=-
1
9

∴異面直線CM與D1N所成角的余弦值為
1
9

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
DM
=(2,0,1)
,
DC
=(0,2,0)
,
DD1
=(0,0,2)

設(shè)面DMC的法向量為
n
=(x,y,z)

2x+z=0
y=0
n
=(1,0,-2)

∴點D1到平面MDC的距離h=
|
DD1
n
|
|
n
|
=
4
5
=
4
5
5
點評:本題考查異面直線所成的角,以及點到平面的距離,建立空間直角坐標系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點E,F(xiàn)在線段AB上,點M在線段B1C1上,點N在線段C1D1上,且EF=1,D1N=x,AE=y,M是B1C1的中點,則四面體MNEF的體積(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點E為棱AB的中點.
求:
(1)D1E與平面BC1D所成角的正弦值;
(2)二面角D-BC1-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是D1C、AB的中點.
(I)求證:EF∥平面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角D-EF-A的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點P,Q,R分別是棱AB,CC1,D1A1的中點.
(1)求證:B1D⊥平面PQR;
(2)設(shè)二面角B1-PR-Q的大小為θ,求|cosθ|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寶山區(qū)一模)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為2,E,F(xiàn)分別是BB1,CD的中點.
(1)求三棱錐E-AA1F的體積;
(2)求異面直線EF與AB所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案