Question

已知曲線f（x）=x³-3ax（a∈R），直線y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）當a=

4

3

時，且曲線f（x）與直線有三個交點，求m的取值范圍
（Ⅱ）若對任意的實數(shù)m，直線與曲線都不相切，
（ⅰ）試求a的取值范圍；
（ⅱ）當x∈[-1，1]時，曲線f（x）的圖象上是否存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于

1

4

．試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解：當a=

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時，f（x）=x³-4x，由曲線f（x）與直線有三個交點，可得x³-3x=m有三個不同的根，構(gòu)造函數(shù)
g（x）=x³-3x，先求導可得g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），通過研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性求解函數(shù)的極值，結(jié)合極值可求滿足條件的m的范圍
（II）（i）首先分析對任意的m直線x+y+m=0都不是曲線y=f（x）的切線的含義，即可求出函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）的導函數(shù)，使直線與其不相交即可．
（ii ）（法一）：問題等價于當x∈[-1，1]時，|f（x）|_max≥

1

4

，設(shè)g（x）=|f（x）|，則由g（x）在x∈[-1，1]上是偶函數(shù)，可知只要證明當x∈[0，1]時，|f（x）|_max≥

1

4

，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解相應的最大值即可
（法二）可考慮利用反證法證明假設(shè)在x∈[-1，1]上不存在x₀，使得|f（x₀）|≥

1

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成立．下同法一的證明思路

解答：解：（Ⅰ）當a=

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時，f（x）=x³-4x
∵曲線f（x）與直線有三個交點
∴x³-4x=-x+m有三個不同的根
∴x³-3x=m有三個不同的根，
令g（x）=x³-3x，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴g（x）在（-1，1）上遞減，（1，+∞），（-∞，-1）上遞增g（-1）_極大值=2，g（1）_極小值=-2
∴當-2＜m＜2時，曲線f（x）與直線有三個交點
（Ⅱ）（i）f（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞]，
∵對任意m∈R，直線x+y+m=0都不與y=（x）相切，
∴-1不屬于[-3a，+∞]，-1＜-3a，實數(shù)a的取值范圍是a＜

1

3

；
（ii）存在，證明方法1：問題等價于當x∈[-1，1]時，|f（x）|_max≥

1

4

，
設(shè)g（x）=|f（x）|，則g（x）在x∈[-1，1]上是偶函數(shù)，
故只要證明當x∈[0，1]時，|f（x）|_max≥

1

4

，
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞

1

4

；
②當0＜a＜

1

3

時f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），
列表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值2a a	↓	極小值 -2a a	↑

f（x）在（0，

a

）上遞減，在（

a

，1）上遞增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1，
∴x∈（0，

3a

）時，g（x）=-f（x），x∈（

3a

，1）時，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（

a

）}，
由f(1)=1-3a≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得0＜a≤

1

4

，此時-f(

a

)≤f(1)成立．
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥

1

4

．
由-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得

1

4

≤a＜

1

3

，此時-f(

a

)≥f(1)成立．
∴g(x)max=-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個x₀，使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．
（II）存在，證明方法2：反證法
假設(shè)在x∈[-1，1]上不存在x₀，使得使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．
，即任意|f(x0)|＜

1

4

，x∈[-1，1]，設(shè)g（x）=|f（x）|
，則g（x）在x∈[-1，1]，上是偶函數(shù)，
∴x∈[0，1]時，|f(x)|max＜

1

4

①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g(x)max=f(1)=1-3a＜

1

4

，a＞

1

4

與a≤0矛盾；
②當0＜a＜

1

3

，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，可知f（x）在(0，

a

)上遞減，在(

a

，1)上遞增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1
∴x∈(0，

3a

)時，g（x）=-f（x），x∈(

3a

，1)時，g（x）=f（x），
∴g(x)max=max{f(1)，-f(

a

)}
注意到0＜a＜

1

3

，由：

-f( a )≤f(1)=1-3a f(1)=1-3a＜ 1 4

，

0＜a≤ 1 4 a＞ 1 4

矛盾；

-f( a )≥f(1)=1-3a -f( a )=2a a ＜ 1 4

，

a≥ 1 4 a＜ 1 4

矛盾；
∴x∈[-1，1]，|f(x)0|＜

1

4

與a＜

1

3

矛盾，
∴假設(shè)不成立，原命題成立．

點評：本題綜合考查了導數(shù)的應用：求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間‘函數(shù)的極值及方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換的應用，解題過程要求考生具備較強的邏輯推理能力及分析問題解決問題的能力．還有注意反證法在證明命題中的應用．