Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)M（2，2）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的極值（要列出表格）．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=（x³-3x）'=3x²-3，
∴在點(diǎn)（2，2）處的切線的斜率k=f^′（2）=3×2²-3=9，
∴切線的方程為y=9x-16．
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）＞0解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
令f′（x）＜0解得x∈（-1，1），
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）．
（3）f（x）=x³-3x，
f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
當(dāng)x在R上變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	正	0	負(fù)	0	正
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

故f（x）在R上有極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2．
分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出函數(shù)在（2，2）處的導(dǎo)數(shù)即斜率，易求切線方程．
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（3）當(dāng)f（x）=x³-3x時(shí)，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），令f'（x）=0，得x=-1或x=1，列表討論，能求出f（x）在[-2，2]上的極大值和極小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的求法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．