Question

設(shè)常數(shù)c≠0，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n+c，已知a₂、a₄、a₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）∵常數(shù)c≠0，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n+c，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為c的等差數(shù)列，
∵a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴（1+3c）²=（1+c）（1+7c），
解得c=1，或c=0（舍）．
∴a_n=1+n-1=n．
（2）∵a_n=n，
∴=n•pⁿ，p＞0．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，
（i）當(dāng)p=1時(shí)，
T_n=1+2+3+…+n
=．
（ii）當(dāng)p≠1時(shí)，
由T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，①
得pT_n=p²+2p³+3p⁴…+（n-1）pⁿ+npⁿ⁺¹，②
①-②，得（1-p）T_n=p+p²+p³+…+p^n-1+pⁿ-npⁿ⁺¹
=，
∴．
分析：（1）由題設(shè)知{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為c的等差數(shù)列，由a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，知（1+3c）²=（1+c）（1+7c），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=n，知=n•pⁿ，p＞0．T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，當(dāng)p=1時(shí)，用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解；當(dāng)p≠1時(shí)，用錯(cuò)位相減求和法進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推公式和錯(cuò)位相減求和法的靈活運(yùn)用．