Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（II）若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）因?yàn)?IMG style="WIDTH: 176px; HEIGHT: 41px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120819/201208191406180203083.png">，
當(dāng)a=1，，令f '（x）=0，得x=1，
又f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f '（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

所以x=1時(shí)，f（x）的極小值為1．
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（II）因?yàn)?IMG style="WIDTH: 176px; HEIGHT: 41px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120819/201208191406181913038.png">，且a≠0，
令f '（x）=0，得到，若在區(qū)間[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要條件是f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）當(dāng)，即a＜0時(shí)，f '（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
故f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，
由，得，即
（2）當(dāng)，即a＞0時(shí)，
①若，則f '（x）≤ 0對x∈[1，e]成立，所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，
顯然，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0不成立
②若，即時(shí)，則有

所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，
即a∈（e，+∞）．
由（1）（2）可知：符合題意．