Question

條件“abc＜0”是曲線“ax²+by²=c”為雙曲線的（ ）
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】分析：當條件“abc＜0”成立時，取a=b=1，c=-1可得曲線為x²+y²=-1，不能表示雙曲線，所以充分性不成立；當“曲線ax²+by²=c為雙曲線”時，以x²-y²=-1為例可得abc＞0，不滿足條件“abc＜0”，必要性也不成立．由此可得本題的答案．
解答：解：先看充分性
當“abc＜0”成立時，取a=b=1，c=-1
此時曲線ax²+by²=c為x²+y²=-1，不能表示任何曲線
∴“abc＜0”不是“曲線ax²+by²=c為雙曲線”的充分條件；
再看必要性
當“曲線ax²+by²=c為雙曲線”時，取a=1，b=c=-1，
此時曲線為x²-y²=-1，表示焦點在y軸上的雙曲線
但abc＞0，不滿足條件“abc＜0”
∴“abc＜0”不是“曲線ax²+by²=c為雙曲線”的必要條件
因此，“abc＜0”是“曲線ax²+by²=c為雙曲線”的既不充分也不必要條件．
故選：D
點評：本題給出方程ax²+by²=c，求它能表示雙曲線的條件，著重考查了雙曲線的標準方程和充分必要條件的概念等知識，屬于基礎題．