Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R）．
（1）當(dāng)0＜a＜

1

2

時，f（sinx）（x∈R）的最大值為

5

4

，求f（x）的最小值．
（2）對于任意的x∈R，總有|f（sinxcosx）|≤1．試求a的取值范圍．
（3）若當(dāng)n∈N^*時，記

n

i=1

ai=a1+a2+a3+…+an，令a=1，求證：1＜

3n

i=n

i

f(i)

＜2成立．

Answer 1

分析：（1）由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1，故當(dāng)sinx=1時f（x）取得最大值為

5

4

，由此得到f(x)=

1

4

x2+x=

1

4

(x+2)2-1，從而能夠得到f（x）的最小值．
（2）對于任意的x∈R，總有|f（sinxcosx）|≤1．令t=sinxcosx=

1

2

sin2x∈[-

1

2

，

1

2

]，則命題轉(zhuǎn)化為?t∈[-

1

2

，

1

2

]，不等式|f（t）|≤1恒成立．由此入手，能夠求出實數(shù)a的 a的取值范圍．
（3）由題意，

3n

i=n

i

f(i)

=

3n

i=n

1

i+1

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

，由此入手，能夠證明 1＜

3n

i=n

i

f(i)

＜2成立．

解答：解：（1）由0＜a＜

1

2

，
知-

1

2a

＜-1，
故當(dāng)sinx=1時，
f（x）取得最大值為

5

4

，
即f(1)=a+1=

5

4

，
∴a=

1

4

∴f(x)=

1

4

x2+x=

1

4

(x+2)2-1，
所以f（x）的最小值為-1；（5分）
（2）∵對于任意的x∈R，
總有|f（sinxcosx）|≤1，
令t=sinxcosx=

1

2

sin2x∈[-

1

2

，

1

2

]，
則命題轉(zhuǎn)化為?t∈[-

1

2

，

1

2

]，
不等式|f（t）|≤1恒成立
當(dāng)t=0時，f（t）=0使|f（t）|≤1成立； （7分）
當(dāng)t≠0時，有

a≤ 1 t2 - 1 t =( 1 t - 1 2 )2- 1 4 a≥- 1 t2 - 1 t =-( 1 t + 1 2 )2+ 1 4

，
對于任意的t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]恒成立；
∵t∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]∴

1

t

≥2或

1

t

≤-2，
則(

1

t

-

1

2

)2-

1

4

≥2，
故要使①式成立，
則有a≤2，
又-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

≤-2，
故要使②式成立，
則有a≥-2，由題a≠0．
綜上，a∈[-2，0）∪（0，2]為所求．（10分）
證明：（3）由題意，

3n

i=n

i

f(i)

=

3n

i=n

1

i+1

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

令g(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

則g(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

3n+4

，
g(n+1)-g(n)=

1

3n+4

+

1

3n+3

+

1

3n+2

-

1

n+1

=…＞0
∴g（n）在n∈N^*時單調(diào)遞增，
∴g(n)≥g(1)=

13

12

＞1（13分）
又

1

n+1

＞

1

n+2

＞

1

n+3

＞…＞

1

3n+1

，
∴g(n)＜

1

n+1

(2n+1)＜2
綜上，原結(jié)論成立．（16分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．