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已知函數f（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x．
（I）證明函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減；
（II）若不等式數學公式≤e2對任意的n∈N*都成立，（其中e是自然對數的底數），求實數a的最大值．

解：（I）
設g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）

函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函數f（x）在x∈（0，1）上單調遞減．
（II）不等式等價于不等式
由知，，

設，

設h（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2（x∈[0，1]）
h'（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）時，h'（x）＜h'（0）=0
∴函數h（x）在x∈（0，1）上單調遞減，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函數G（x）在x∈（0，1]上單調遞減．
∴
故函數G（x）在（{0，1}]上的最小值為G（1）=
即，
∴a的最大值為


分析：（I）這是一個一般的函數，所以用導數法，即證明函數f（x）在區(qū)間（0，1）上的導數恒小于零．
（II）先將不等式≤e2對任意的n∈N*都成立，兩邊取自然對數，轉化為，恒成立，再用導數法求最小值即可．
點評：本題主要通過函數的單調性及恒成立問題來考查用導數法求函數的最值問題．
練習冊系列答案
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已知函數f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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1
f(n)
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已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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