Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，已知a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）．證明：
（Ⅰ）數列{}是等比數列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

Answer 1

（I）證：由a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，），
知a₂=S₁=3a₁，，，∴
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），則S_n+1-S_n=S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，（n=1，2，3，…），
故數列{}是首項為1，公比為2的等比數列．
（II）證明：S_n+1=4a_n．當n=1時，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：，∴S_n=n2^n-1
當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此對于任意正整數n≥1都有S_n+1=4a_n．
分析：（Ⅰ）要證數列{}是等比數列；需證（n=1，2，3，…）成立，另外應說明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數列{}是首項為1，公比為2的等比數列，可得S_n的通項公式，代入a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）可得S_n+1=4a_n．說明當n=1時，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
點評：要證一個數列是等比數列，利用定義，每一項與它的前一項之比為一個常數，在這兒注意，n=1時，不在其中，所以要加以說明；同樣第二個問題中，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…），這個式子也不包括a₁應加以說明．