Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，且cosα=

3

5

，sin(α+β)=-

5

13

，求sinβ，cosβ，tanβ的值．

Answer 1

分析：由α和β的范圍求出α+β的范圍，然后由求出的范圍，根據cosα和sin（α+β）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα和cos（α+β），然后把β變?yōu)椋é?β）-α，利用兩角差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出sinβ的值，然后由β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系即可求出cosβ和tanβ的值．

解答：解：∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，
∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∵cosα=

3

5

，sin(α+β)=-

5

13

，
∴sinα=

4

5

，cos(α+β)=-

12

13

，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]
=sin（α+β）•cosα-cos（α+β）•sinα
=-

5

13

×

3

5

-(-

12

13

)×

4

5

=

33

65

，
∴cosβ=-

56

65

，  tanβ=-

33

56

．

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道綜合題．