Question

15．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的兩個(gè)焦點(diǎn)，其離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，則△PF₁F₂的周長(zhǎng)是否為一定值？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在橢圓上是否存在點(diǎn)M，使得MF₁⊥MF₂？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a即可得出橢圓方程．點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，則△PF₁F₂的周長(zhǎng)=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c為定值．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y），使得MF₁⊥MF₂，利用$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，化為x²+y²=3．與橢圓方程聯(lián)立解得即可．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=2．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∴$c=\sqrt{3}$．
∵點(diǎn)P為橢圓上任一點(diǎn)，則△PF₁F₂的周長(zhǎng)=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=4+2$\sqrt{3}$．為定值．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y），使得MF₁⊥MF₂，
則$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）$+y²=0，化為x²+y²=3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=±\frac{2\sqrt{6}}{3}}\\{y=±\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴存在四個(gè)點(diǎn)M$（±\frac{2\sqrt{6}}{3}，±\frac{\sqrt{3}}{3}）$，滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．