19、如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).
(1)求證:B1D1∥面A1BD;
(2)求證:MD⊥AC;
(3)試確定點(diǎn)M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
分析:(1)在平面A1BD內(nèi)找到和B1D1平行的直線BD即可.利用線線平行來推線面平行.
(2)先利用條件BB1⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB1D,再證明MD⊥AC即可.
(3)因?yàn)槔釨B1上最特殊的點(diǎn)是中點(diǎn),所以先看中點(diǎn).取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1,連接NN1交DC1于O,?BN⊥DC?面ABCD⊥面DCC1D1
?BN⊥面DCC1D1.而又可證得BN∥OM,所以可得OM⊥平面CC1D1D?平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解答:解:(1)證明:由直四棱柱,得BB1∥DD1且BB1=DD1,所以BB1D1D是平行四邊形,
所以B1D1∥BD.
而BD?平面A1BD,B1D1?平面A1BD,
所以B1D1∥平面A1BD.
(2)證明:因?yàn)锽B1⊥面ABCD,AC?面ABCD,所以BB1⊥AC,
又因?yàn)锽D⊥AC,且BD∩BB1=B,
所以AC⊥面BB1D,
而MD?面BB1D,所以MD⊥AC.
(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí),平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1,連接NN1交DC1于O,連接OM.
因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以BN⊥DC;又因?yàn)镈C是面ABCD與面DCC1D1的交線,而面ABCD⊥面DCC1D1
所以BN⊥面DCC1D1
又可證得,O是NN1的中點(diǎn),所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M⊥平面CC1D1D,因?yàn)镺M?面DMC1,所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.
點(diǎn)評:本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì).在證明面面垂直時(shí),其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直.
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