Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$過點P（1，2），則m+n的最小值為9．

Answer 1

分析 將P（1，2），代入橢圓方程，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$，（m＞0，n＞0），由基本不等式的性質則m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4≥5+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=9．

解答 解：將P（1，2），代入橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$，（m＞0，n＞0），
m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4≥5+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=9，
當且僅當$\frac{4m}{n}$=$\frac{n}{m}$時，m=3，n=6時，取等號，
∴m+n的最小值9，
故答案為：9．

點評 本題考查基本等式及橢圓的標準方程的應用，考查計算能力，屬于基礎題．