Question

設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，O是坐標(biāo)原點，且∠AOP=

π

6

，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若點Q的坐標(biāo)是 （m，

4

5

），求cos（α-

π

6

）的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(a)=

OP

•

OQ

，求f（a）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和平方關(guān)系求出m的值，即由三角函數(shù)的定義求出α的正弦和余弦值，代入兩角差的余弦公式進(jìn)行求解；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出

OP

和

OQ

的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)的解析式，利用兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡，根據(jù)角α的范圍求出α+

π

3

的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵∠AOQ=α，Q是單位圓上兩點，O是坐標(biāo)原點，且Q（m，

4

5

），
∴sinα=

4

5

，m=cosα=±

3

5

，
∴cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

±3 3 +4

10

，
（Ⅱ）由題意知，

OP

=（cos

π

6

，sin

π

6

），

OQ

=（cosα，sinα），
∴f(a)=

OP

•

OQ

=cos

π

6

cosα+sin

π

6

sinα=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin（α+

π

3

），
∵0≤α＜π，∴

π

3

≤α+

π

3

＜

4π

3

，∴-

3

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
故f（a）的值域是（-

3

2

，1]．

點評：本題考查了三角函數(shù)求值和三角函數(shù)的值域，利用整體代入是常用的技巧，這里要分析已知和要求的結(jié)論之間的角的關(guān)系和三角函數(shù)名稱之間的關(guān)系，需要利用三角函數(shù)的定義求出向量的坐標(biāo)，是向量和三角函數(shù)結(jié)合的題目．