Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，，滿足S_n²+2S_n+1=a_nS_n（n ≥2）．
（I）計算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表達式；
（II）并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

解：（I）由題設S_n²+2S_n+1﹣a_nS_n=0，
當n ≥2（n∈N*）時，a_n=S_n﹣S _n﹣1， 代入上式，得S _n﹣1 S_n+2S _n+1=0．（*）
S₁=a₁=﹣，
∵S_n+=a_n﹣2（n ≥2，n∈N），
令n=2可得，S₂+=a₂﹣2=S₂﹣a₁﹣2，
∴=﹣2， ∴S₂=﹣．
同理可求得 S₃=﹣，S₄=﹣．
（II）猜想S_n =﹣，n∈N+，下邊用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，S₁=a₁=﹣，猜想成立．
②假設當n=k時猜想成立，即S_K=﹣，則
當n=k+1時，∵S_n+=a_n﹣2，∴，
∴，∴=﹣2=，
∴S _K+1=﹣，
∴當n=k+1時，猜想仍然成立．
①②可得，猜想對任意正整數(shù)都成立，即 S_n =﹣，n∈N+成立．