Question

某漁業(yè)公司今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈．第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始每年包括維修費(fèi)在內(nèi)，所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元，該船捕撈總收入預(yù)計(jì)每年50萬(wàn)元．
（1）該船捕撈幾年開(kāi)始盈利（即累計(jì)總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正）？
（2）該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：
①年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格將船賣出；
②累計(jì)盈利總額達(dá)到最大時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格將船賣出．
問(wèn)哪一種方案較為合算？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)n年后盈利額為y元，利用數(shù)列的求和公式即可求得y的表達(dá)式，最后令y＞0，解得n的取值范圍從而解決問(wèn)題．
（2）①先求出平均盈利的函數(shù)表達(dá)式，再利用基本不等式求其最大值，從而得出盈利總額；
②先求出平均盈利的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求其最大值，從而得出盈利總額；最后比較兩種情況的盈利額的情況即可解決問(wèn)題．

解答：解：1）設(shè)n年后盈利額為y元y=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-98=-2n2+40n-98
令y＞0，得3≤n≤17，∴從第3年開(kāi)始盈利．
2）①平均盈利

y

n

=-2n-

98

n

+40≤-2

2n× 98 n

+40=12
這種情況下，盈利總額為12×7+26=110萬(wàn)元，此時(shí)n=7．
②y=-2（n-10）²+102≤102，此時(shí)n=10．
這種情況下盈利額為102+8=110．
兩種情況的盈利額都為110萬(wàn)元，盈利額一樣，但方案①的時(shí)間短，故方案①合算．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、數(shù)列求和、基本不等式及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．