Question

如圖是一個(gè)無(wú)蓋的圓錐形容器，若其側(cè)面展開圖的周長(zhǎng)為4πcm．
（1）如何安排此容器的底面半徑及容器的高，才能使此容器側(cè)面展開圖的面積最大？（精確到0.01cm）
（2）利用（1）中求出的數(shù)據(jù)，作出此容器的三視圖．（標(biāo)出必要尺寸）

Answer 1

分析：（1）設(shè)此圓錐底面半徑為rcm，母線長(zhǎng)為lcm，由已知可得：2πr+2l=4π，即πr+l=2π，表示出容器的側(cè)面展開圖，根據(jù)基本不等式求出最值．
（2）根據(jù)各個(gè)部分所給的和求出的圓錐的數(shù)據(jù)，做出圓錐的三視圖，主視圖和左視圖分別是等腰三角形，俯視圖是一個(gè)圓．

解答：解：（1）設(shè)此圓錐底面半徑為rcm，母線長(zhǎng)為lcm，由已知可得：2πr+2l=4π，即πr+l=2π
又∵S=

1

2

•2πr•l=πr•l≤

(πr+l)2

4

=π2
當(dāng)且僅當(dāng)πr=l=π時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)圓錐的高h=

π2-1

≈2.98cm
∴當(dāng)?shù)酌姘霃綖?cm，高為2.98cm時(shí)，側(cè)面展開圖的面積最大
（2）要求的三視圖如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的模型的選擇和利用基本不等式求函數(shù)的最值，及要求畫出圓錐的三視圖，本題解題的關(guān)鍵是理解題意表示出要求最值的量，在求最值，這是一部分求最值題目常用的數(shù)學(xué)思想．