Question

下面四個命題：
①若x=

1-y2

，則x+y的最小值為0．
②-

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

（x∈R）．
③若x，y∈R⁺，則

x+y

1+x+y

≥

x

1+x

+

y

1+y

．
④

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

＜

3

4

． 其中正確的命題是

C

．
A、①②B、②③C、②④D、③④

Answer 1

分析：對于①，令x=0，y=-1時，可得x+y=-1，故①不成立． 對于②，分x=0、x＞0、x＜0分別求出

x

x2+1

的范圍，
再取并集可得故②正確．對于③，令x=2，y=3，代入式子檢驗可得③不正確．對于④，利用裂項求和可得
④正確．

解答：解：對于①，若x=

1-y2

，則x=0，y=-1時，x+y=-1，故①不成立．
對于②，由于x=0，

x

x2+1

=0；x＞0 時，

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

；
x＜0時，

1

x+ 1 x

=-

1

-x+ 1 -x

≥-

1

2

，故有 -

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

，故②正確．
對于③，令x=2，y=3，可得

x+y

1+x+y

=

5

6

，而

x

1+x

+

y

1+y

=

2

3

+

3

4

=

17

12

，故③不正確．
對于④，

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
＜

1

2

（1+

1

2

）=

3

4

，故④正確．
故選：C．

點評：本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．