Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，Sn為其前n項(xiàng)和，若5S1，S3，3S2成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn＝log2an，cn＝，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.若對(duì)?n∈N*，Tn≤k(n＋4)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）an＝2n（2）

【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，∵5S1，S3，3S2成等差數(shù)列，

∴2S3＝5S1＋3S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝5a1＋3(a1＋a1q)，

化簡(jiǎn)得2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－.

因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝－不合題意，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.

(2)由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，

則cn＝＝＝－，

Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.

∵n＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝2時(shí)等號(hào)成立，

∴≤，因此k≥，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為