Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：

a

+

b

 與

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

b

與

a

-k

b

的長(zhǎng)度相等，求β-α的值（k為非零的常數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中向量

a

，

b

的坐標(biāo)，分別求出向量

a

+

b

與

a

-

b

的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可證得

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）方法一：分別求出k

a

+

b

與

a

-k

b

的坐標(biāo)，代入向量模的公式，求出k

a

+

b

與

a

-k

b

的模，進(jìn)而可得cos（β-α）=0，結(jié)合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．
方法二：由|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|得：|k

a

+

b

|²=|

a

-k

b

|²，即（k

a

+

b

）²=（

a

-k

b

）²，展開后根據(jù)兩角差的余弦公式，可得cos（β-α）=0，結(jié)合已知中0＜α＜β＜π，可得答案．

解答：證明：（1）由題意得：

a

+

b

=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=1-1=0
∴

a

+

b

 與

a

-

b

互相垂直．
解：（2）方法一：k

a

+

b

=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），

a

-k

b

=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
|k

a

+

b

|=

k2+2kcos(β-α)+1

，|

a

-k

b

|=

k2-2kcos(β-α)+1

由題意，得4cos（β-α）=0，
因?yàn)?＜α＜β＜π，
所以β-α=

π

2

．
方法二：由|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|得：|k

a

+

b

|²=|

a

-k

b

|²
即（k

a

+

b

）²=（

a

-k

b

）²，k²|

a

|²+2k

a

•

b

+|

b

|²=|

a

|²-2k

a

•

b

+k²|

b

|²
由于|

a

|=1，|

b

|=1
∴k²+2k

a

•

b

+1=1-2k

a

•

b

+k²，故

a

•

b

=0，
即（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=0（10分）
即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos （β-α）=0
因?yàn)?＜α＜β＜π，
所以β-α=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，模，夾角，熟練掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，是解答的關(guān)鍵．