Question

隨機(jī)變量X的分布列如下表如示，若數(shù)列{p_n}是以p₁為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列，則稱隨機(jī)變量X服從等比分布，記為Q（p₁，q）．現(xiàn)隨機(jī)變量X∽Q（

1

63

，2）．

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

（Ⅰ）求n 的值并求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）一個盒子里裝有標(biāo)號為1，2，…，n且質(zhì)地相同的標(biāo)簽若干張，從中任取1張標(biāo)簽所得的標(biāo)號為隨機(jī)變量X．現(xiàn)有放回的從中每次抽取一張，共抽取三次，求恰好2次取得標(biāo)簽的標(biāo)號不大于3的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得求出和的表達(dá)式進(jìn)而解得n=6，所以可得X的分布列，求出隨機(jī)變量X的期望，利用數(shù)列的有關(guān)知識求和即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中隨機(jī)變量X的分布列可得隨機(jī)抽取一次取得標(biāo)簽的標(biāo)號不大于3的概率，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，數(shù)列{p_n}是以

1

63

為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
所以Sn=p1+p2+…+pn=

1 63 (1-2n)

1-2

=1（1分）
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列為：

X	1	2	3	4	5	6
P	1 63	2 63	4 63	8 63	16 63	32 63

所以EX=1•p1+2•p2+…+6p6=1•

1

63

+2•

22

63

+…+6•

25

63

=

1

63

(1•20+2•21+…+6•25)（4分）
所以2EX=

1

63

(1•21+2•22+…+6•26)（5分）
兩式相減得EX=

1

63

[6•26-(25+24+23+22+21+20)]（6分）
=

1

63

[6•26-

26-1

2-1

]=

1

63

(5•26+1)=

321

63

=

107

21

，（7分）
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX

107

21

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中隨機(jī)變量X的分布列可得：
隨機(jī)抽取一次取得標(biāo)簽的標(biāo)號不大于3的概率為

1

63

+

2

63

+

4

63

=

1

9

（10分）
所以恰好2次取得標(biāo)簽的標(biāo)號小于3的概率為

C

2 3

•(

1

9

)2•(1-

1

9

)=

8

243

（13分）

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握離散型隨機(jī)變量的期望與方差，以及利用錯位相減法求數(shù)列的和．