設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，與直線y=b相切的⊙F2交橢圓于點E，且E是直線EF1與⊙F2的切點，則橢圓的離心率為
5
3
5
3
．
分析：作出圖形，根據(jù)橢圓的定義，可得到EF1+EF2=2a，依題意EF12+EF22=F1F22=4c2，再由⊙F2與直線y=b相切，可得EF2=b，
從而有（2a-b）2+b2=4c2，整理即可求得橢圓的離心率．
解答：解：依題意，作圖如右：
∵EF1⊥EF2，⊙F2交橢圓于點E，
∴EF1+EF2=2a，
EF12+EF22=F1F22=（2c）2=4c2．①
又⊙F2與直線y=b相切，
∴EF2=b，②
∴EF1=2a-b，③
將②③代入①得：（2a-b）2+b2=4c2，
∴4a2+2b2-4ab=4c2，
∴2（a2-c2）=b（2a-b），即2b2=b（2a-b），
∵b≠0，
∴3b=2a，
∴4a2=9b2=9（a2-c2），
∴5a2=9c2，即e2=
c2
a2
=
5
9
，
∴e=
c
a
=
5
3
．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查直線與圓相切，考查方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的運用，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x=
a2
c
上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是
（
3
3
，1）
（
3
3
，1）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，
3
2
）到F1，F(xiàn)2的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為KQM•KQN．問：“點M，N關(guān)于原點對稱”是KQM•KQN=-
3
4
的什么條件？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦點在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時，點P在某定直線上．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）設(shè)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個動點，點A（5，0），求線段AP中點M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案