Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F．
（1）若直線l過點(diǎn)M（4，0），且F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與X軸垂直，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．求證：線段AB的垂直平分線恰過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），利用F到直線l的距離為2，即可求得直線的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求得AB的垂直平分線方程，進(jìn)而可得線段AB的垂直平分線恰過定點(diǎn)

解答：（1）解：由已知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），x=4不合題意，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4）
∵F到直線l的距離為2，∴

|3k|

1+k2

=2，∴k=±

2 5

5

∴直線l的方程為y═±

2 5

5

（x-4）
（2）證明：設(shè)A，B的坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB不與x軸垂直，
∴設(shè)直線AB的方程為y=kx+b
代入拋物線方程，消元可得k²x²+（2bk-4）+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2bk

k2

∵線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2
∴

4-2bk

k2

=4
∴b=

2-2k2

k

∵線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2k+b）
∴AB的垂直平分線方程為：y-（2k+b）=-

1

k

（x-2）
∵b=

2-2k2

k

∴方程可化為x+ky-4=0，顯然過定點(diǎn)（4，0）
∴線段AB的垂直平分線恰過定點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線方程，考查直線恒過定點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．