Question

（2012•湖北模擬）函數(shù)f(x)=

1，(x為有理數(shù)) 0，(x為無理數(shù))

，則下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

A．f（x）是偶函數(shù)

B．方程f（f（x））=x的解為x=1

C．f（x）是周期函數(shù)

D．方程f（f（x））=f（x）的解為x=1

Answer 1

分析：根據(jù)已知的函數(shù)f(x)=

1，(x為有理數(shù)) 0，(x為無理數(shù))

的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)周期性的定義及函數(shù)值的確定方法，分別判斷四個答案的真假，可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1，(x為有理數(shù)) 0，(x為無理數(shù))

，
當(dāng)x為有理數(shù)時，-x必為有理數(shù)，此時f（-x）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，-x必為無理數(shù)，此時f（-x）=f（x）=0．故Af（x）是偶函數(shù)正確；
若為有理數(shù)，則方程f（f（x））=f（1）=1，此時x=1；若為無理數(shù)，則方程f（f（x））=f（0）=1，此時無滿足條件的x；故B方程f（f（x））=x的解為x=1正確；
對于任意的有理數(shù)T，當(dāng)x為有理數(shù)時，x+T必為有理數(shù)，此時f（x+T）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，x+T必為無理數(shù)，此時f（x+T）=f（x）=0；即函數(shù)是周期為任意非0有理數(shù)的周期函數(shù)，故Cf（x）是周期函數(shù)正確；
若為有理數(shù)，則方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若為無理數(shù)，則方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此時無滿足條件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解為任意有理數(shù)，故D錯誤；
故選D

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的值及函數(shù)的性質(zhì)，正確理解新定義函數(shù)f(x)=

1，(x為有理數(shù)) 0，(x為無理數(shù))

是解答的關(guān)鍵．