Question

在數(shù)列{a_n}中，若a₁、a₂是正整數(shù)，且a_n＝|a_n－1－a_n－2|，n＝3，4，5，…，則稱{a_n}為“絕對差數(shù)列”．

(1)舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項)；

(2)若“絕對差數(shù)列”{a_n}中，a₂₀＝3，a₂₁＝0．數(shù)列{b_n}滿足b_n＝a_n＋a_n＋1＋a_n＋2，n＝1，2，3，…，分別判斷當n→∞時，a_n與b_n的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

(3)求證：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a1＝3，a2＝1，a3＝2，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝0，a10＝1． 　　(答案不唯一) 　　(2)因為在絕對差數(shù)列{an}中，a20＝3，a21＝0，所以自第20項開始，該數(shù)列是a20＝3，a21＝0，a22＝3，a23＝3，a24＝0，a25＝3，a26＝3，a27＝0，…，即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值3，0，3． 　　所以當n→∞時，an的極值不存在． 　　當n≥20時，bn＝an＋an＋1＋an＋2＝6． 　　所以bn＝6． 　　(3)證明：根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項后出現(xiàn)零項，證明如下(用反證法)： 　　假設(shè){an}中沒有零項，由于an＝|an－1－an－2|，所以對于任意的n都有an≥1，從而 　　當an－1＞an－2時，an＝an－1－an－2≤an－1－1(n≥3)； 　　當an－1＜an－2時，an＝an－2－an－1≤an－2－1(n≥3)， 　　即an的值要么比an－1至少小1，要么比an－2至少小1． 　　令cn＝n＝1，2，3，…， 　　則0＜cn≤cn－1－1(n＝2，3，4，…)．由于an是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項ck＜0，這與cn＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，從而{an}必有零項． 　　若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記an－1＝A(A≠0)，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0、A、A，即 　　 　　所以絕對差數(shù)列{an}中有無窮多個為零的項． 　　分析：本題以提出一個新概念的方式來考查數(shù)列的概念及極限的問題，背景新穎． 　　綠色通道： 　　在用反證法證題時，常用的主要矛盾為：與假設(shè)矛盾，與數(shù)學公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾，與公認的事實相矛盾．