Question

三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）若

CB

=2

AD

，且異面直線PC與AD的夾角為60°時，求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于點O，由PA=PB=PC，知O為△ABC的外心，由∠ACB=90°，知O為AB邊的中點，由此能夠證明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O為坐標原點，以OA為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系利用向量法能夠求出二面角P-CD-A的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于點O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O為△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ACB=90°，∴O為AB邊的中點，
∴PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC中，∠ACB=

π

2

，AC=CB=2，
∴OA=OB=OC=

2

∵

CB

=2

AD

，且異面直線PC與AD的夾角為60°，PB=PC
∴∠PCB=60°，∴△PCB為正三角形，解得PO=

2

．
以O為坐標原點，以OA為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸，
建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz，
則A(

2

，0，0)，B(-

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，P(0，0，

2

)，
∵

CB

=(-

2

，-

2

，0)=2

AD

，∴D(

2

2

，-

2

2

，0)． …（9分）
設平面PCD的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

CP

=(0，-

2

，

2

)，

CD

=(

2

2

，

-3 2

2

，0)
由

n • CP =- 2 y+ 2 z=0 n • CD = 2 2 x- 3 2 2 y=0

，取

n

=(3，1，1)
平面ACD的法向量為

OP

=(0，0，

2

)
∴cos＜

OP

，

n

＞=

OP • n

| OP |•| n |

=

1

11

=

11

11

．
由圖可知，所求二面角P-CD-A為鈍角，其的余弦值為-

11

11

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．