Question

14．垂直于x軸的直線l與橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$相交于M、N兩點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的最小值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是C上異于M、N的任意一點(diǎn)，且直線MP、NP分別與x軸交于R、S兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPR和△OPS的面積之積的最大值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁）（y₁＞0），則N（x₁，-y₁），利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁）（y₁＞0），則N（x₁，-y₁），
∵A（-2，0），∴$\overrightarrow{AM}=（{x_1}+2，{y_1}）$，$\overrightarrow{AN}=（{x_1}+2，-{y_1}）$，
∵點(diǎn)M在C上，∴${y_1}^2=1-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}={（{x_1}+2）^2}-{y_1}^2=\frac{{5{x_1}^2}}{4}+4{x_1}+3=\frac{5}{4}（{x_1}+\frac{8}{5}{）^2}-\frac{1}{5}$，
∵x₁∈（-2，2），∴${x_1}=-\frac{8}{5}$時(shí)，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取最小值$-\frac{1}{5}$．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則直線MP的方程為：$y-{y_0}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_0}）$，
令y=0，得${x_R}=\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{y_0}-{y_1}}}$，同理${x_S}=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{y_0}+{y_1}}}$，
∵點(diǎn)M、P在C上，∴${x_1}^2=4（1-{y_1}^2）$，${x_0}^2=4（1-{y_0}^2）$，
∴${x_R}•{x_S}=\frac{{4（1-{y_1}^2）{y_0}^2-（1-{y_0}^2）{y_1}^2}}{{{y_0}^2-{y_1}^2}}=\frac{{4（{y_0}^2-{y_1}^2）}}{{{y_0}^2-{y_1}^2}}=4$，
${S_{△OPS}}•{S_{△OPR}}=\frac{1}{2}|OS||{y_0}|\frac{1}{2}|OR||{y_0}|=\frac{1}{4}|{x_S}•{x_R}|{y_0}^2={y_0}^2$，
∵y₀∈[-1，1]，∴y₀=±1時(shí)，S_△OPS•S_△OPR取最大值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．