設函數(shù)f(x)=sinxsin(
π
2
+x)+cos2x，在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（A）=1，A+B=
7π
12
，b=
6
，求A和a．
分析：（1）利用誘導公式化簡表達式，通過二倍角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最大值；
（2）通過f（A）=1，求出A的值，通過A+B=
7π
12
，求出B的值，結合b=
6
，利用正弦定理求出a，即可．
解答：解：（1）因為f(x)=sinxsin(
π
2
+x)+cos2x=sinxcosx+cos2x…（1分）
=
1
2
[sin2x+1+cos2x]…（3分）
=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
．…（4分）
所以，當sin(2x+
π
4
)=1，
即2x+
π
4
=
π
2
+2kπ，
x=kπ+
π
8
(k∈Z)時，f（x）取得最大值，…（5分）
其最大值
2
+1
2
．…（6分）
（2）由f（A）=1得，
2
2
sin(2A+
π
4
)+
1
2
=1，
即sin(2A+
π
4
)=
2
2
．…（7分）
在△ABC中，因為A∈（0，π），
所以2A+
π
4
∈(
π
4
，
9π
4
)．
又sin(2A+
π
4
)=
2
2
＞0，
所以2A+
π
4
=
3π
4
，A=
π
4
．…（9分）
又因為A+B=
7π
12
，所以B=
π
3
．…（10分）
在△ABC中，
由
a
sinA
=
b
sinB
及b=
6
，
得a=
bsinA
sinB
=
6
×
2
2
3
2
=2．…（12分）
點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角的正弦函數(shù)，誘導公式的應用正弦定理的應用，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=sinx+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)，項數(shù)為25的等差數(shù)列an且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a25）=0，則i=
 
有f（ai）=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=sinx•cosx+
3
cos2x
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知f(α)=
1
3
+
3
2
，α∈(
π
12
，
π
3
)，求cos2α．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=sinx-
3
cosx+x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，f′（B）=3且a+c=2，求邊長b的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=|sinx+
2
3+sinx
+m|(x∈R，m∈R)最大值為g（m），則g（m）的最小值為
3
4
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知設函數(shù)
f(x)=
sinx，(0≤x≤
π
2
)
-
π
2
x+2，(
π
2
＜x≤π)
則
∫
π
0
f(x)dx=
-
π3
4
+π+1
-
π3
4
+π+1
．

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